dijkstra 详解
little_sun
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2018-07-24 18:55:25
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题解
前言
什么是dijkstra?
dijkstra的原理/流程?
我们把点分成两类,一类是已经确定最短路径的点,称为"白点",另一类是未确定最短路径的点,称为"蓝点"
dijkstra$的流程如下$:
3.$ 遍历$x$的所有出边$(x,y,z),$若$dis[y] > dis[x] + z,$则令$dis[y] = dis[x] + z
4.$ 重复$2,3$两步,直到所有点都成为白点$.
时间复杂度为O(n^2)
dijkstra为什么是正确的
当所有边长都是非负数的时候,全局最小值不可能再被其他节点更新.所以在第2步中找出的蓝点x必然满足:dis[x]已经是起点到x的最短路径.我们不断选择全局最小值进行标记和拓展,最终可以得到起点到每个节点的最短路径的长度
图解
(令start = 1)
开始时我们把dis[start]初始化为0,其余点初始化为inf
第一轮循环找到dis值最小的点1,将1变成白点,对所有与1相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[2]=2,dis[3]=4,dis[4]=7
第二轮循环找到dis值最小的点2,将2变成白点,对所有与2相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[3]=3,dis[5]=4
第三轮循环找到dis值最小的点3,将3变成白点,对所有与2相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[4]=4
接下来两轮循环分别将4,5设为白点,算法结束,求出所有点的最短路径
时间复杂度O(n^2)
为什么dijkstra不能处理有负权边的情况?
我们来看下面这张图
这时的dis[3]=1,然而1并不是起点到3的最短路径.因为3已经被标为白点,所以dis[3]不会再被修改了.我们在边权存在负数的情况下得到了错误的答案.
dijkstra的堆优化?
观察dijkstra的流程,发现步骤2可以优化
怎么优化呢?
我会zkw线段树!我会斐波那契堆!
我会堆!
我们可以用堆对dis数组进行维护,用O(\log_{2}n)的时间取出堆顶元素并删除,用O(\log_{2}n)遍历每条边,总复杂度O((n+m)\log_{2}n)
范例代码:
#include
const int MaxN = 100010, MaxM = 500010;
struct edge
{
int to, dis, next;
};
edge e[MaxM];
int head[MaxN], dis[MaxN], cnt;
bool vis[MaxN];
int n, m, s;
inline void add_edge( int u, int v, int d )
{
cnt++;
e[cnt].dis = d;
e[cnt].to = v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt;
}
struct node
{
int dis;
int pos;
bool operator <( const node &x )const
{
return x.dis < dis;
}
};
std::priority_queue
inline void dijkstra()
{
dis[s] = 0;
q.push( ( node ){0, s} );
while( !q.empty() )
{
node tmp = q.top();
q.pop();
int x = tmp.pos, d = tmp.dis;
if( vis[x] )
continue;
vis[x] = 1;
for( int i = head[x]; i; i = e[i].next )
{
int y = e[i].to;
if( dis[y] > dis[x] + e[i].dis )
{
dis[y] = dis[x] + e[i].dis;
if( !vis[y] )
{
q.push( ( node ){dis[y], y} );
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf( "%d%d%d", &n, &m, &s );
for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff;
for( register int i = 0; i < m; ++i )
{
register int u, v, d;
scanf( "%d%d%d", &u, &v, &d );
add_edge( u, v, d );
}
dijkstra();
for( int i = 1; i <= n; i++ )
printf( "%d ", dis[i] );
return 0;
}
例题
入门模板:P3371
进阶模板:P4779
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后记
本文部分内容摘自李煜东《算法竞赛进阶指南》和《信息学竞赛一本通》
友情提示:正权图请使用dijkstra算法,负权图请使用SPFA算法
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